Uppgift 1

Vi beräknar gränsvärdena för $f(x)$ då $x\to0^+$ respektive $x\to\infty$: $f(x)\to\infty$ då $x\to0^+$ och $f(x)\to-\infty$ då $x\to\infty$. Det ger värdemängden $(-\infty,\infty)$. Det innebär att $f(x)=a$ har minst en lösning för alla reella tal $a$.
Funktionen är kontinuerlig och deriverbar. Derivation ger
$$f'(x)=\frac{10}{1+x^2}-\frac2x-1.$$
Med inspektion ser vi att $f'(2)=0$, vilket leder till
$$f'(x)=-\frac{(x-2)(x^2+4x-1)}{x(1+x^2)}$$
efter polynomdivision. Detta visar att derivatan har nollställen i $x=2$ och $x=\sqrt5-2$ i definitionsmängden $(0,\infty)$. Vi får följande teckentabell:

| $x$ | $0$ | | $\sqrt5-2$ | | $2$ | |
|---|---:|---:|---:|---:|---:|---:|
| $f'$ | | $-$ | $0$ | $+$ | $0$ | $-$ |
| $f$ | | ↘ | min | ↗ | max | ↘ |

Alltså är det maximalt antal rötter som ekvationen $f(x)=a$ kan ha $3$ för $a$ mellan $f(\sqrt5-2)$ och $f(2)$.