Uppgift 2

(i) Använd standardutvecklingen
$$(1+t)^\alpha=1+\alpha t+\frac{\alpha(\alpha-1)}2t^2+O(t^3)$$
eller derivera $\sqrt{1+t}$ två gånger. Insättningen av $t=x^6$ och $\alpha=\frac12$ ger
$$f(x)=1+\frac{x^6}{2}-\frac{x^{12}}8+O(x^{13}),$$
så
$$\frac{f^{(12)}(0)}{12!}=-\frac18 \quad\Longrightarrow\quad f^{(12)}(0)=-\frac{12!}{8}.$$

(ii) Låt $y=1/x\to0$ då $x\to\infty$. Enligt standardutvecklingar för $e^t$ och $\sqrt{1+t}$ får vi
$$ \begin{aligned} &\left(x^3-x^2+\frac x2\right)e^{1/x}-\sqrt{1+x^6}\\\\ &=\frac{(2-2y+y^2)e^y-2\sqrt{1+y^6}}{2y^3}\\\\ &=\frac{(2-2y+y^2)(1+y+\frac{y^2}{2}+\frac{y^3}{6}+O(y^4))-2(1+O(y^6))}{2y^3}\\\\ &=\frac{\frac{y^3}{3}+O(y^4)}{2y^3} =\frac{\frac13+O(y)}2\longrightarrow\frac16. \end{aligned}$$