Uppgift 4

(i) Låt $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$. Då
$$D=\{(r,\theta):0\le r\le\pi,\ 0\le\theta\le\pi/4\}.$$
Därför
$$\iint_D\sin\sqrt{x^2+y^2}\,dx\,dy =\int_0^{\pi/4}\int_0^{\pi}r\sin r\,dr\,d\theta =\frac{\pi^2}{4}.$$

(ii) Observera att $D$ är begränsade av kurvorna $y=x$ då $0\le x\le\frac{\pi}{\sqrt2}$, $y=\sqrt{\pi^2-x^2}$ då $\frac{\pi}{\sqrt2}\le x\le\pi$ samt den positiva $x$-axeln. Alltså är volymen
$$V_x=\int_0^{\frac{\pi}{\sqrt2}}\pi x^2\,dx +\int_{\frac{\pi}{\sqrt2}}^\pi\pi(\pi^2-x^2)\,dx =\left(\frac23-\frac{\sqrt2}{3}\right)\pi^4.$$