Uppgift 5

(i) Differentialekvationen kan skrivas om till (med inspektion eller med metoden för integrerande faktor)
$$D\bigl(y(1+x^2)\bigr)=4x(1+x^2) \Longleftrightarrow y(1+x^2)=x^4+2x^2+C.$$
Bivillkoret $y(0)=1$ ger $C=y(0)=1$. Vi får därför
$$y=\frac{x^4+2x^2+1}{x^2+1} =\frac{(x^2+1)^2}{x^2+1}=x^2+1.$$

(ii) Den associerade homogena ekvationen har lösningen
$$y_h(x)=c_1+c_2e^{-2x},\qquad c_1,c_2\in\mathbb R.$$
Ansätt $y_p(x)=Ax$, där $A$ ska bestämmas. Insättningen av denna ansats i ekvationen ger $2A=2$, dvs. $A=1$, och därmed $y_p(x)=x$. Den allmänna lösningen till ekvationen är
$$y(x)=c_1+c_2e^{-2x}+x.$$