Uppgift 1

För $x\le0$ är $|\arctan x|=-\arctan x$, så
$$f(x)=-\arctan x+\ln(1+x^2)-x.$$
För $x<0$ får vi
$$f'(x)=-\frac1{1+x^2}+\frac{2x}{1+x^2}-1 =-\frac{x^2-2x+2}{1+x^2} =-\frac{(x-1)^2+1}{1+x^2}<0.$$
Alltså är $f$ strängt avtagande på $(-\infty,0]$. Eftersom $f(0)=0$ följer att $f(x)\ge0$ för alla $x\le0$.