Uppgift 2

(i)
$$\begin{aligned} f(x)&=x\cos(x^4)+\frac{x^9}{2}\\\\ &=x\left(1-\frac{(x^4)^2}{2}+\frac{(x^4)^4}{4!}+O(x^{24})\right)+\frac{x^9}{2}\\\\ &=x+\frac{x^{17}}{4!}+O(x^{25}), \end{aligned}$$
och därför
$$f^{(17)}(0)=\frac{17!}{4!}.$$

(ii) Låt $y=1/x\to0$ då $x\to\infty$. Då
$$x^8\left(1-2x^8+2x^8\cos\left(\frac1{x^4}\right)\right) =\frac{y^8-2+2\cos(y^4)}{y^{16}}.$$
Standardutvecklingen ger
$$\frac{y^8-2+2\left(1-\frac{y^8}{2}+\frac{y^{16}}{4!}+O(y^{24})\right)}{y^{16}} \longrightarrow\frac1{12}.$$
Notera att beräkningen blir enklare om vi utvecklar
$$\cos\frac1{x^4}=1-\frac1{2x^8}+\frac1{4!x^{16}}+O\left(\frac1{x^{24}}\right).$$