Analys II · 2026-08-24
Bestäm största och minsta värde till funktionen $f(x,y)=x^2+y^2-2x-2y-1$ i det område som definieras av $x^2+y^2\le16$.
Beräkna, med hjälp av integral, arean av den rotationsyta som uppstår när kurvan $x^2+y^2=16$ får rotera runt $x$-axeln.
(i) Kvadratkomplettering ger
$$f(x,y)=(x-1)^2+(y-1)^2-3.$$
Punkten $(1,1)$ ligger i cirkelskivan $x^2+y^2\le16$, så funktionens minsta värde är $-3$, och det antas i $(1,1)$. Det största avståndet från $(1,1)$ till en punkt i cirkelskivan fås i randpunkten i motsatt riktning,
$$(x,y)=(-2\sqrt2,-2\sqrt2).$$
Avståndet är då $4+\sqrt2$, och det största funktionsvärdet blir
$$(4+\sqrt2)^2-3=15+8\sqrt2.$$
(ii) Vi använder den övre halvcirkeln $y=\sqrt{16-x^2}$, $-4\le x\le4$. Då
$$y'=-\frac{x}{\sqrt{16-x^2}},\qquad
\sqrt{1+(y')^2}=\frac4{\sqrt{16-x^2}}.$$
Rotationen kring $x$-axeln ger därför arean
$$A=2\pi\int_{-4}^4y\sqrt{1+(y')^2}\,dx
=2\pi\int_{-4}^4 4\,dx=64\pi.$$