Analys II · 2026-08-24
Bestäm den allmänna lösningen till differentialekvationen $y^\prime+\frac{5xy}{1+x^2}=0$. Bestäm den lösning till ekvationen $y^\prime+\frac{5xy}{1+x^2}=2x$ som uppfyller $y(0)=\frac72$.
Beräkna den allmänna lösningen till differentialekvationen $y^\prime\prime+2y^\prime+y=e^{-x}$.
(i) För den homogena ekvationen får vi
$$\frac{y'}y=-\frac{5x}{1+x^2},$$
och därmed
$$y_h(x)=C(1+x^2)^{-5/2}.$$
För den inhomogena ekvationen är en integrerande faktor
$$\mu(x)=e^{\int 5x/(1+x^2)\,dx}=(1+x^2)^{5/2}.$$
Multiplikation med $\mu$ ger
$$\bigl((1+x^2)^{5/2}y\bigr)'=2x(1+x^2)^{5/2}.$$
Efter integration får vi
$$(1+x^2)^{5/2}y=\frac27(1+x^2)^{7/2}+C,$$
så
$$y(x)=\frac27(1+x^2)+C(1+x^2)^{-5/2}.$$
Begynnelsevillkoret $y(0)=7/2$ ger $C=45/14$. Den sökta lösningen är alltså
$$y(x)=\frac27(1+x^2)+\frac{45}{14}(1+x^2)^{-5/2}.$$
(ii) Den karakteristiska ekvationen är
$$(r+1)^2=0,$$
så den homogena lösningen är
$$y_h(x)=(c_1+c_2x)e^{-x}.$$
Eftersom högerledet $e^{-x}$ motsvarar den dubbla roten $r=-1$ ansätter vi $y_p(x)=Ax^2e^{-x}$. Insättning ger $2Ae^{-x}=e^{-x}$, alltså $A=1/2$. Den allmänna lösningen är därför
$$y(x)=c_1e^{-x}+c_2xe^{-x}+\frac12x^2e^{-x}.$$