Uppgift 2

Funktionen är kontinuerlig och (godtyckligt många gånger) deriverbar i alla punkter. $\lim_{x\to\infty}f(x)=0$ vilket ger att $x$-axeln är en asymptot, men $\lim_{x\to-\infty}f(x)/x=-\infty$, vilket visar att det inte finns någon asymptot då $x\to-\infty$.

Derivation ger
$$f'(x)=D(x^4e^{-x})=4x^3e^{-x}-x^4e^{-x}=x^3(4-x)e^{-x},$$
vilket visar att derivatan har nollställen i $x=0$ och $x=4$. Vi får följande teckentabell:
$$\begin{array}{c|ccccc}x&&0&&4&\\\hline f'&-&0&+&0&-\\f&\searrow&0&\nearrow&(4/e)^4&\searrow\end{array}$$
$x=0$ är alltså en lokal minpunkt med minvärde $=0$ (i själva verket är det en global minpunkt eftersom $f(x)>0$ i alla andra punkter). $x=4$ är en lokal (men ej global) maxpunkt med maxvärde $(4/e)^4\approx4,7$. Globalt max saknas eftersom $\lim_{x\to-\infty}f(x)=\infty$.

Genom att derivera en gång till får vi att
$$f''(x)=12x^2e^{-x}-8x^3e^{-x}+x^4e^{-x}=e^{-x}x^2(x^2-8x+12).$$
$x^2-8x+12=0\iff x=2$ eller $x=6$. Vi får följande teckentabell:
$$\begin{array}{c|ccccccc}x&&0&&2&&6&\\\hline f''&+&0&+&0&-&0&+\\f&\smile&&\smile&&\frown&&\smile\end{array}$$
Funktionen är konvex på intervallen $(-\infty,2]$ och $[6,\infty)$, och konkav på $[2,6]$. Punkterna $2$ och $6$ är inflexionspunkter.