Uppgift 3

Tangenten genom den punkt på kurvan $f(x)=(1+x^2)^{-1}$ som har $x$-koordinat $a$ ges av
$$y=f(a)+f'(a)(x-a)=\frac1{1+a^2}-\frac{2a}{(1+a^2)^2}(x-a).$$
Villkoret att tangenten ska gå genom punkten $(0,1)$ ger ekvationen
$$1=\frac1{1+a^2}-\frac{2a}{(1+a^2)^2}(0-a)\iff(1+a^2)^2=(1+a^2)+2a^2\iff a^2(a^2-1)=0.$$
Vi får de tre lösningarna $a=-1,0,1$ som svarar mot de tre punkterna $(-1,\frac12)$, $(0,1)$ och $(1,\frac12)$.