Uppgift 4

a) Differentialekvationen är både linjär och separabel så det finns flera metoder att välja bland. T ex:
$$(1+\cos x)y'=y\sin x\iff\frac{dy}y=\frac{\sin x\,dx}{1+\cos x}\iff\int\frac{dy}y=\int\frac{\sin x\,dx}{1+\cos x}\iff\ln y=-\ln(1+\cos x)+C.$$
Villkoret $y(0)=1$ ger $\ln1=-\ln2+C\iff0=-\ln2+C\iff C=\ln2$. Vi får därför
$$\ln y=-\ln(1+\cos x)+\ln2\iff y=e^{-\ln(1+\cos x)+\ln2}\iff y=\frac2{1+\cos x}.$$
b) Lösningen är tydligen väldefinierad på intervallet $(-\pi,\pi)$, men $y(x)\to\infty$ då $x\to\pi^-$ eller $x\to-\pi^+$, varför detta också är det största möjliga intervallet.