Uppgift 5

De kritiska punkterna ges av
$$\operatorname{grad}f(x,y)=(4y-2x,4x-1)=(0,0)$$
vilket har den entydiga lösningen $(x,y)=(\frac14,\frac18)$, som ligger i området, och $f(\frac14,\frac18)=-\frac1{16}$.

Vi söker nu funktionens extremvärden på randen till rektangeln.

Sidan mellan $(0,0)$ och $(4,0)$. Sätt $h_1(t)=f(t,0)=-t^2$, $0\le t\le4$. $h_1$ är tydligen avtagande så $\max h_1=h_1(0)=0$ och $\min h_1=h_1(4)=-16$.

Sidan mellan $(4,0)$ och $(4,1)$. Sätt $h_2(t)=f(4,t)=15t-16$, $0\le t\le1$. $h_2$ är tydligen växande så $\max h_2=h_2(1)=-1$ och $\min h_2=h_2(0)=-16$.

Sidan mellan $(0,1)$ och $(4,1)$. Sätt $h_3(t)=f(t,1)=-t^2+4t-1$, $0\le t\le4$. $h_3'(t)=4-2t$ har ett nollställe i $t=2$ som är en maxpunkt. Det följer att $\max h_3=h_3(2)=3$ och $\min h_3=h_3(0)=h_3(4)=-1$.

Sidan mellan $(0,0)$ och $(0,1)$. Sätt $h_4(t)=f(0,t)=-t$, $0\le t\le1$. $h_4$ är tydligen avtagande så $\max h_4=h_4(0)=0$ och $\min h_4=h_4(1)=-1$.

Sammanfattningsvis ser vi att funktionens största värde och minsta värden på randen är $3$ respektive $-16$. Jämförelse med den kritiska punkten i det inre ger $-16<-1/16<3$, varför dessa värden också är de globala största och minsta värdena.