Uppgift 1

a) $$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{5^n+3^n}=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{5^n\left(1+\left(\frac35\right)^n\right)}=5\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{1+\left(\frac35\right)^n}=5\cdot1=5,$$
eftersom det sista gränsvärdet är av typen $1^0$ som alltid är $1$.

b) Maclaurinutveckling ger
$$\arctan^2x=(x-\tfrac13x^3+O(x^5))^2=x^2-\tfrac23x^4+O(x^6),$$
$$\arctan x^2=x^2-\tfrac13(x^2)^3+O(x^{10})=x^2+O(x^6),$$
$$\sin^2x=(x-\tfrac16x^3+O(x^5))^2=x^2-\tfrac13x^4+O(x^6),$$
$$\sin x^2=x^2-\tfrac16(x^2)^3+O(x^{10})=x^2+O(x^6).$$
Det följer att
$$\begin{aligned}\lim_{x\to0}\frac{\arctan^2x-\arctan x^2}{\sin^2x-\sin x^2}&=\lim_{x\to0}\frac{(x^2-\frac23x^4+O(x^6))-(x^2+O(x^6))}{(x^2-\frac13x^4+O(x^6))-(x^2+O(x^6))}\\&=\lim_{x\to0}\frac{-\frac23x^4+O(x^6)}{-\frac13x^4+O(x^6)}=\lim_{x\to0}\frac{-\frac23+O(x^2)}{-\frac13+O(x^2)}=2.\end{aligned}$$