Uppgift 2

Funktionen är kontinuerlig och (godtyckligt många gånger) deriverbar i alla punkter ($\implies$ inga lodräta asymptoter). $\lim_{x\to\infty}f(x)=0$ vilket ger att $x$-axeln är en asymptot, men $\lim_{x\to-\infty}f(x)/x=\infty$, vilket visar att det inte finns någon asymptot då $x\to-\infty$.

Derivation ger
$$f'(x)=D(e^{-x}-e^{-2x})=-e^{-x}+2e^{-2x}=e^{-x}(2e^{-x}-1),$$
vilket visar att derivatan är noll endast då $2e^{-x}-1=0\iff e^{-x}=\frac12\iff x=\ln2$. Vi får följande teckentabell:
$$\begin{array}{c|ccc}x&&\ln2&\\\hline f'&+&0&-\\f&\nearrow&1/4&\searrow\end{array}$$
$x=\ln2$ är alltså en maxpunkt med maxvärde $=1/4$ som också är en global maxpunkt. Globalt min saknas eftersom $\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty$.

Genom att derivera en gång till får vi att
$$f''(x)=e^{-x}-4e^{-2x}=e^{-x}(1-4e^{-x}),$$
vilket visar att $f''$ är noll endast då $1-4e^{-x}=0\iff e^{-x}=\frac14\iff x=2\ln2$. Vi får följande teckentabell:
$$\begin{array}{c|ccc}x&&2\ln2&\\\hline f''&-&0&+\\f&\frown&3/16&\smile\end{array}$$
Punkten $(2\ln2,\frac3{16})$ är alltså en inflexionspunkt och funktionen är konkav på intervallet $(-\infty,2\ln2]$ och konvex på $[2\ln2,\infty)$.