Uppgift 3

a) Rotationsvolymen ges enligt känd formel av
$$V(a)=\pi\int_0^\infty(y(x))^2\,dx=\pi(1+a)^2\int_0^\infty e^{-2ax}\,dx=\pi(1+a)^2\left[\frac{-1}{2a}e^{-2ax}\right]_0^\infty=\frac{\pi(1+a)^2}{2a}.$$
b) För att hitta den minimala volymen deriverar vi $V(a)$ med avseende på $a$:
$$V'(a)=\pi\frac{2(1+a)\cdot2a-(1+a)^2\cdot2}{4a^2}=\frac{2\pi(a^2-1)}{4a^2}.$$
Vi ser att $V'$ är noll om och endast om $a^2-1=0$, vilket ger den unika lösningen $a=1$ eftersom vi antagit att $a>0$. Att detta verkligen är ett minimum framgår av att $\lim_{a\to0^+}V(a)=\lim_{a\to\infty}V(a)=\infty$.