Uppgift 4

Den homogena differentialekvationen $y''-5y'+4y=0$ har karakteristisk ekvation $r^2-5r+4=0$ med rötterna $r_1=1$ och $r_2=4$. Den allmänna lösningen blir därför $y_h=C_1e^x+C_2e^{4x}$.

För att hitta en partikulärlösning sätter vi $y=ze^x$, vilket ger $y'=(z'+z)e^x$ och $y''=(z''+2z'+z)e^x$. Insatt i den ursprungliga ekvationen får vi $(z''+2z'+z)e^x-5(z'+z)e^x+4ze^x=xe^x$, vilket efter förenklingar ger $z''-3z'=x$. Ansatsen $z_p=Ax^2+Bx$ ger $2A-3(2Ax+B)=x$, dvs $-6A=1$, $2A-3B=0$ och alltså $A=-1/6$ och $B=-1/9$. Vi får därmed $z_p=-\frac16x^2-\frac19x$ som ger partikulärlösningen $y_p=-(\frac16x^2+\frac19x)e^x$ till den ursprungliga differentialekvationen. Den allmänna lösningen blir därmed
$$y=y_h+y_p=C_1e^x+C_2e^{4x}-(\tfrac16x^2+\tfrac19x)e^x.$$
Om vi nu sätter in $0$ i $y(x)$ och $y'(x)$ får vi ekvationerna
$$\begin{cases}0=y(0)=C_1+C_2,\\1=y'(0)=C_1+4C_2-\frac19,\end{cases}$$
som har de entydiga lösningarna $C_1=-10/27$ och $C_2=10/27$. Lösningen på det ursprungliga problemet blir alltså
$$y=-\frac{10}{27}e^x+\frac{10}{27}e^{4x}-(\tfrac16x^2+\tfrac19x)e^x.$$