Uppgift 1

Division med $x$ ger $y'-\frac2xy=x$. Eftersom $-\int\frac2x\,dx=-2\ln x$ (med integrationskonstanten satt till $0$), är den integrerande faktorn $e^{-2\ln x}=x^{-2}$. Nu dividerar vi ekvationen med $x^2$ och får i tur och ordning $\frac1{x^2}y'-\frac2{x^3}y=\frac1x$, $(\frac y{x^2})'=\frac1x$, $\frac y{x^2}=\ln x+C$, och slutligen $y=x^2\ln x+Cx^2$.

Tangentens riktningskoefficient då $x=1$ är $y'(1)$. Alltså söker vi den lösning som satisfierar villkoret $y'(1)=0$. Eftersom $y'(x)=2x\ln x+x+2Cx$, får vi $y'(1)=1+2C=0$. Så $C=-\frac12$ och $y=x^2\ln x-\frac12x^2$.