Uppgift 2

$f'(x)=\frac{(2x-2)(x-1)-(x^2-2x+5)}{(x-1)^2}=\frac{x^2-2x-3}{(x-1)^2}$. $f'$ har två nollställen: $x=-1$ och $x=3$.

Teckentabell för $f'$:
$$\begin{array}{c|ccccccc}x&&-1&&1&&3&\\\hline f'&+&0&-&\text{ej def.}&-&0&+\\f&\nearrow&&\searrow&&\searrow&&\nearrow\end{array}$$
Det framgår av tabellen att $f$ har ett lokalt maximum då $x=-1$ och ett lokalt minimum då $x=3$.
$$f''(x)=\frac{(2x-2)(x-1)^2-2(x-1)(x^2-2x-3)}{(x-1)^4}=\frac{(2x-2)(x-1)-2(x^2-2x-3)}{(x-1)^3}=\frac8{(x-1)^3}.$$
Teckentabell för $f''$:
$$\begin{array}{c|ccc}x&&1&\\\hline f''&-&\text{ej def.}&+\\f&\text{konkav}&&\text{konvex}\end{array}$$
Asymptoter:

$\lim_{x\to1^+}f(x)=+\infty$ eftersom $x^2-2x+5\to4$ och $x-1\to0^+$ då $x\to1^+$.

$\lim_{x\to1^-}f(x)=-\infty$ eftersom $x^2-2x+5\to4$ och $x-1\to0^-$ då $x\to1^-$.

Alltså är $x=1$ en lodrät asymptot.
$$k=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}x=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x^2-2x+5}{x(x-1)}=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{1-\frac2x+\frac5{x^2}}{1-\frac1x}=1.$$
$$m=\lim_{x\to\pm\infty}(f(x)-kx)=\lim_{x\to\pm\infty}\left(\frac{x^2-2x+5}{x-1}-x\right)=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{-x+5}{x-1}=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{-1+\frac5x}{1-\frac1x}=-1.$$
Alltså är $y=x-1$ en sned asymptot då $x\to\pm\infty$.

Grafen: