Uppgift 3

Sätt $f(x)=e^x+4e^{-2x}$.

$f'(x)=e^x-8e^{-2x}$. $f'(x)=0$ ger $e^x=8e^{-2x}$ och $e^{3x}=8$. Så $e^x=2$ och $x=\ln2$.

Teckentabell för $f'$:
$$\begin{array}{c|ccc}x&&\ln2&\\\hline f'&-&0&+\\f&\searrow&&\nearrow\end{array}$$
Vi ser att $f$ är strängt avtagande för $x\le\ln2$, strängt växande för $x\ge\ln2$ och $f(\ln2)=3$. Det följer att $e^x+4e^{-2x}=3$ då $x=\ln2$ och $e^x+4e^{-2x}>3$ för alla $x\ne\ln2$.