Uppgift 6

Eftersom $1+x^2=1+\sqrt x$ då $x=0$ eller $1$, är det lätt att se att det finns $x$ och $y$ som satisfierar olikheten $1+x^2\le y\le1+\sqrt x$ om och endast om $0\le x\le1$ (rita en figur). Så
$$\iint_D\frac1{y^2}\,dx\,dy=\int_0^1\left(\int_{1+x^2}^{1+\sqrt x}\frac1{y^2}\,dy\right)dx.$$
Vi får $\int_{1+x^2}^{1+\sqrt x}\frac1{y^2}\,dy=\left[-\frac1y\right]_{y=1+x^2}^{y=1+\sqrt x}=\frac1{1+x^2}-\frac1{1+\sqrt x}$.

Nu återstår det att beräkna integralerna med avseende på $x$:
$$\int_0^1\frac1{1+x^2}\,dx=[\arctan x]_0^1=\frac\pi4$$
$$\begin{aligned}\int_0^1\frac1{1+\sqrt x}\,dx&=[1+\sqrt x=t,\ x=(t-1)^2,\ dx=2(t-1)\,dt]\\&=2\int_1^2\frac{t-1}t\,dt=2\int_1^2\left(1-\frac1t\right)dt=2[t-\ln t]_1^2=2-2\ln2.\end{aligned}$$
Så $\iint_D\frac1{y^2}\,dx\,dy=\int_0^1\frac1{1+x^2}\,dx-\int_0^1\frac1{1+\sqrt x}\,dx=\frac\pi4+2\ln2-2$.