Uppgift 1

Med hjälp av standardutvecklingar får vi:
$$\sin t=t+B_1(t)t^3,\quad\sin(x^2)=x^2+B_2(x)x^6,\quad\cos x=1-\tfrac12x^2+\tfrac1{24}x^4+B_3(x)x^6,\quad\arctan x=x-\tfrac13x^3+B_4(x)x^5.$$
Det följer att $\sin(x^2)-2+2\cos x=x^2+B_2(x)x^6-2+2(1-\frac12x^2+\frac1{24}x^4+B_3(x)x^6)=\frac1{12}x^4+B_5(x)x^6$ och $x\arctan x-x^2=x(x-\frac13x^3+B_4(x)x^5)-x^2=-\frac13x^4+B_4(x)x^6$. Så
$$\lim_{x\to0}\frac{\sin(x^2)-2+2\cos x}{x\arctan x-x^2}=\lim_{x\to0}\frac{\frac1{12}x^4+B_5(x)x^6}{-\frac13x^4+B_4(x)x^6}=\lim_{x\to0}\frac{\frac1{12}+B_5(x)x^2}{-\frac13+B_4(x)x^2}=-\frac14.$$