Hela analys · 2008-01-18
Bestäm alla lösningar till differentialekvationen $y'=-2xy^2$.
Låt $y_0$ vara ett givet tal. Bestäm, för varje $y_0$, den lösning till ekvationen ovan som satisfierar villkoret $y(0)=y_0$ och ange det största intervallet på vilket lösningen existerar (det kan vara lämpligt att betrakta fallen $y_0>0$, $y_0=0$ och $y_0<0$ separat).
a) Ekvationen kan skrivas på formen $\frac{dy}{dx}=-2xy^2$. En uppenbar lösning är $y=0$. För $y\ne0$ ger separation av variablerna $\frac{dy}{y^2}=-2x\,dx$. Genom att integrera båda led får vi $-\frac1y=-x^2+C$, och därefter $y=\frac1{x^2-C}$.
b) Genom att sätta in $x=0$ och $y=y_0$ i lösningen ovan får vi $y_0=-\frac1C$. Så $C=-\frac1{y_0}$ och $y=\frac1{x^2+1/y_0}$, vilket efter förenkling ger $y=\frac{y_0}{y_0x^2+1}$. Vi noterar att den sista formeln även ger lösningen $y=0$ (motsvarande $y_0$-värde är $0$).
Om $y_0\ge0$, existerar lösningen för alla $x$. Om $y_0<0$, är $y_0x^2+1=0$ då $x=\pm\sqrt{-1/y_0}$. Alltså är det största intervallet på vilket lösningen existerar $(-\sqrt{-1/y_0},\sqrt{-1/y_0})$.