Uppgift 3

$f'(x)=\frac4{1+x^2}-1=\frac{3-x^2}{1+x^2}$. Teckentabell för $f'$:
$$\begin{array}{c|ccccc}x&&-\sqrt3&&\sqrt3&\\\hline f'&-&0&+&0&-\\f&\searrow&&\nearrow&&\searrow\end{array}$$
Det framgår av tabellen att $f$ har ett lokalt minimum då $x=-\sqrt3$ och ett lokalt maximum då $x=\sqrt3$.

$f''(x)=-\frac{8x}{(1+x^2)^2}$. Teckentabell för $f''$:
$$\begin{array}{c|ccc}x&&0&\\\hline f''&+&0&-\\f&\text{konvex}&&\text{konkav}\end{array}$$
Asymptoter:

Eftersom $f$ är definierad för alla $x$ och kontinuerlig, finns inga lodräta asymptoter.
$$k=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}x=\lim_{x\to\infty}\left(\frac{4\arctan x}x-1\right)=-1.$$
$$m=\lim_{x\to\infty}(f(x)-kx)=\lim_{x\to\infty}4\arctan x=2\pi.$$
Det följer att $y=2\pi-x$ är en sned asymptot då $x\to\infty$.

Det blir samma $k$ då $x\to-\infty$. Däremot är nu $m=\lim_{x\to-\infty}4\arctan x=-2\pi$. Alltså är $y=-2\pi-x$ en sned asymptot då $x\to-\infty$.

Grafen: