Uppgift 5

$f_x'(x,y)=2x-y$, $f_y'(x,y)=-x+1$. $f_y'=0$ ger $x=1$, vilket insatt i ekvationen $f_x'=0$ ger $y=2$. Så $(1,2)$ är den enda stationära punkten, och den ligger uppenbart i det inre av triangeln. Vi sparar värdet $\boxed{f(1,2)=1}$.

Det återstår att undersöka randen. I hörnpunkterna får vi $\boxed{f(0,0)=0}$, $\boxed{f(6,0)=36}$ och $\boxed{f(0,6)=6}$.

På linjestycket $y=0$, $0\le x\le6$, är $\varphi_1(x)=f(x,0)=x^2$, så största och minsta värdet antas i intervallets ändpunkter, dvs. i två av triangelns hörn (som vi redan undersökt).

På linjestycket $x=0$, $0\le y\le6$, är $\varphi_2(y)=f(0,y)=y$, så även här antas största och minsta värdet i två av triangelns hörn.

På linjestycket $y=6-x$, $0\le x\le6$, är $\varphi_3(x)=f(x,6-x)=2x^2-7x+6$. Här måste vi även bestämma de intervallets inre punkter där $\varphi_3'(x)=0$. Eftersom $\varphi_3'(x)=4x-7$, är $\varphi_3'(7/4)=0$. Motsvarande funktionsvärde är $\boxed{\varphi_3(7/4)=-1/8}$.

Genom att jämföra de markerade värdena ser vi att funktionens största och minsta värde i triangeln är $36$ respektive $-1/8$.