Uppgift 6

Vi går över till polära koordinater. T.ex. genom att rita en figur ser vi att den mängd som svarar mot $D$ är $E=\{(r,\theta):0\le r\le\sqrt3,\ 0\le\theta\le\pi/4\}$. Så
$$\begin{aligned}\iint_D e^{-(x^2+y^2)}\,dx\,dy&=\iint_E re^{-r^2}\,dr\,d\theta=\int_0^{\sqrt3}\left(\int_0^{\pi/4}re^{-r^2}\,d\theta\right)dr=\frac\pi4\int_0^{\sqrt3}re^{-r^2}\,dr\\&=[r^2=t,\ 2r\,dr=dt]=\frac\pi8\int_0^3e^{-t}\,dt=\frac\pi8[-e^{-t}]_0^3=\frac\pi8(1-e^{-3}).\end{aligned}$$