Uppgift 2

Den givna differentialekvationen är separabel, den kan skrivas
$$\frac{dy}{dx}e^y=e^{-x}.$$
Vi får att
$$e^y\,dy=e^{-x}\,dx,$$
och därmed att
$$\int e^y\,dy=\int e^{-x}\,dx,$$
som ger
$$e^y=-e^{-x}+C,$$
för någon konstant $C$. Detta och $y=1$ då $x=0$ ger $C=e+1$. Sökt lösning är alltså
$$e^y=-e^{-x}+e+1\iff y=\ln(-e^{-x}+e+1).$$
Lösningen är definierad i det intervall där $-e^{-x}+e+1>0$, dvs i intervallet $x>-\ln(e+1)$.