Uppgift 3

Låt $p_n(x)$ beteckna Taylorpolynomet av ordning $n$ i origo till $f(x)$. Vi löser båda uppgifterna samtidigt genom att bestämma $p_{50}(x)$. Termerna med gradtal $\le6$ i $p_{50}(x)$ är då sökt Taylorpolynom $p_6(x)$, och koefficienten framför $x^{50}$-termen i $p_{50}(x)$ ger derivatan $f^{(50)}(0)$. Detta kan genomföras på följande sätt. Vi har att
$$f(x)=\ln\left(\frac{1+x^2}{1-x^2}\right)=\ln(1+x^2)-\ln(1-x^2).\tag{1}$$
Enligt känd Taylorutveckling (standardutveckling) har vi att
$$\ln(1+t)=\sum_{n=1}^{25}\frac{(-1)^{n-1}}n t^n+O(t^{26})\quad\text{då }t\text{ är nära }0.\tag{2}$$
Eftersom $x^2$ är nära noll då $x$ är nära noll kan vi sätta $t=x^2$ respektive $t=-x^2$ i (2) och få att
$$\ln(1+x^2)=\sum_{n=1}^{25}\frac{(-1)^{n-1}}n(x^2)^n+O((x^2)^{26})=\sum_{n=1}^{25}\frac{(-1)^{n-1}}n x^{2n}+O(x^{52})\quad\text{då }x\text{ är nära }0$$
respektive
$$\ln(1-x^2)=\sum_{n=1}^{25}\frac{(-1)^{n-1}}n(-x^2)^n+O((-x^2)^{26})=-\sum_{n=1}^{25}\frac1n x^{2n}+O(x^{52})\quad\text{då }x\text{ är nära }0.$$
Tillsammans med (1) ger detta att
$$\begin{aligned}f(x)&=\sum_{n=1}^{25}\frac{(-1)^{n-1}}n x^{2n}+O(x^{52})+\sum_{n=1}^{25}\frac1n x^{2n}+O(x^{52})\\&=\sum_{n=1}^{25}\frac{(-1)^{n-1}+1}n x^{2n}+O(x^{52})=\sum_{k=0}^{12}\frac2{2k+1}x^{4k+2}+O(x^{52})\quad\text{då }x\text{ är nära }0.\end{aligned}$$
Därav och av entydighetssats för Taylorutvecklingar följer att
$$p_{50}(x)=\sum_{k=0}^{12}\frac2{2k+1}x^{4k+2}.$$
Sökt Taylorpolynom $p_6(x)$ (termerna med gradtal $\le6$ i $p_{50}(x)$) är således polynomet
$$\sum_{k=0}^1\frac2{2k+1}x^{4k+2}=2x^2+\frac23x^6.$$
Enligt Taylors formel är vidare $x^{50}$-termen i $p_{50}(x)$ lika med
$$\frac1{50!}f^{(50)}(0)x^{50},$$
vilket med uttrycket för $p_{50}(x)$ ovan ger
$$\frac1{50!}f^{(50)}(0)=\frac2{25},\quad\text{dvs}\quad f^{(50)}(0)=\frac{2\cdot50!}{25}=4\cdot49!.$$