Uppgift 5

Vi övergår till polära koordinater $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$. Låt $\alpha$ vara den entydigt bestämda vinkel för vilken
$$\tan\alpha=\frac12\quad\text{och}\quad0<\alpha<\frac\pi2.$$
Det givna området $D$ uttryckt i polära koordinater är då området $1\le r\le2$, $\alpha\le\theta\le\frac\pi2+\alpha$ (rita figur över $D$) och vi får att
$$\begin{aligned}\iint_D\frac{y}{(x^2+y^2)^2}\,dx\,dy&=\iint_{\substack{1\le r\le2\\\alpha\le\theta\le\pi/2+\alpha}}\frac{r\sin\theta}{(r^2)^2}r\,dr\,d\theta\\&=\iint_{\substack{1\le r\le2\\\alpha\le\theta\le\pi/2+\alpha}}\frac1{r^2}\sin\theta\,dr\,d\theta=\int_1^2\frac1{r^2}\,dr\int_\alpha^{\pi/2+\alpha}\sin\theta\,d\theta\\&=\left[-\frac1r\right]_{r=1}^{r=2}[-\cos\theta]_{\theta=\alpha}^{\theta=\pi/2+\alpha}=\frac12\left(-\cos\left(\frac\pi2+\alpha\right)-(-\cos\alpha)\right)\\&=\frac12(\sin\alpha+\cos\alpha)=\frac12\left(\frac1{\sqrt5}+\frac2{\sqrt5}\right)=\frac3{2\sqrt5}=\frac{3\sqrt5}{10}.\end{aligned}$$
I beräkningen ovan har vi använt att $\cos\alpha=\frac2{\sqrt5}$ och $\sin\alpha=\frac1{\sqrt5}$ om $\tan\alpha=\frac12$ och $0<\alpha<\frac\pi2$. Det kan enkelt fås med hjälp av en rätvinklig triangel med kateterna $1$ och $2$.