Uppgift 6

Låt $\gamma_1$ vara cirkeln $x^2+y^2=c$, och låt $\gamma_2$ vara kurvan $x^3+3x^2y+2y^3=6$. Låt $c>0$ vara sådant att $\gamma_1$ och $\gamma_2$ tangerar varandra, och låt $(a,b)$ vara tillhörande tangeringspunkt (en av dem om det finns flera). Sätt $f(x,y)=x^2+y^2$ och $g(x,y)=x^3+3x^2y+2y^3$. Kurvan $\gamma_1$ är då en nivåkurva till $f$ (nivåkurvan $f(x,y)=c$), och kurvan $\gamma_2$ är en nivåkurva till $g$ (nivåkurvan $g(x,y)=6$). Enligt en egenskap hos gradienten gäller därför att $\nabla f(a,b)$ är en normalvektor till $\gamma_1$ i punkten $(a,b)$ på $\gamma_1$, och att $\nabla g(a,b)$ är en normalvektor till $\gamma_2$ i punkten $(a,b)$ på $\gamma_2$. Eftersom $\gamma_1$ och $\gamma_2$ antas tangera varandra i punkten $(a,b)$, måste således $\nabla f(a,b)$ och $\nabla g(a,b)$ vara parallella. Beräkning ger
$$\nabla f(a,b)=2(a,b)\quad\text{och}\quad\nabla g(a,b)=3(a^2+2ab,a^2+2b^2).$$
En vektor vinkelrät mot $(a,b)$ är $(b,-a)$. Vi har alltså att
$$\begin{aligned}\nabla f(a,b)\parallel\nabla g(a,b)&\iff(a,b)\parallel(a^2+2ab,a^2+2b^2)\\&\iff(b,-a)\perp(a^2+2ab,a^2+2b^2)\\&\iff(b,-a)\cdot(a^2+2ab,a^2+2b^2)=0\\&\iff b(a^2+2ab)-a(a^2+2b^2)=0\iff a^2(b-a)=0.\end{aligned}$$
Från sista sambandet ovan fås två möjligheter, $a=0$ och $b=a$. Eftersom $(a,b)$ är en punkt på $\gamma_1$ och på $\gamma_2$ gäller också att
$$a^2+b^2=c,\tag{4}$$
och
$$a^3+3a^2b+2b^3=6.\tag{5}$$
Den ena möjligheten $a=0$ insatt i (5) ger $2b^3=6$, dvs $b=3^{1/3}$, och alltså $(a,b)=(0,3^{1/3})$. Den andra möjligheten $b=a$ insatt i (5) ger $6a^3=6$, dvs $a=1$, och alltså $(a,b)=(1,1)$.

Av $(a,b)=(0,3^{1/3})$ och (4) fås $c=3^{2/3}$, och av $(a,b)=(1,1)$ och (4) fås $c=2$. De $c$-värden för vilka $\gamma_1$ (cirkeln $x^2+y^2=c$) och $\gamma_2$ (kurvan $x^3+3x^2y+2y^3=6$) tangerar varandra är således $c=3^{2/3}$ och $c=2$ och tillhörande (enda) tangeringspunkt är $(0,3^{1/3})$ respektive $(1,1)$. Radien $\sqrt c$ i den minsta cirkel $x^2+y^2=c$ som tangerar kurvan $\gamma_2$ är kortaste avståndet från origo till $\gamma_2$. Eftersom
$$(3^{2/3})^3=3^2=9\quad\text{och}\quad2^3=8$$
är alltså $x^2+y^2=2$ den minsta cirkel som tangerar $\gamma_2$. Kortaste avståndet från origo till $\gamma_2$ är således $\sqrt2$.