Uppgift 1

Sätt $f(x)=\sqrt x$. Kroppens volym
$$=\pi\int_1^2(f(x))^2\,dx=\pi\int_1^2x\,dx=\pi\left[\frac12x^2\right]_1^2=\frac{3\pi}2.$$
Arean av kroppens mantelyta
$$\begin{aligned}&=2\pi\int_1^2f(x)(1+(f'(x))^2)^{1/2}\,dx=2\pi\int_1^2\sqrt x\left(1+\left(\frac1{2\sqrt x}\right)^2\right)^{1/2}\,dx\\&=2\pi\int_1^2\sqrt x\left(1+\frac1{4x}\right)^{1/2}\,dx=2\pi\int_1^2\left(x+\frac14\right)^{1/2}\,dx\\&=2\pi\left[\frac23\left(x+\frac14\right)^{3/2}\right]_1^2=\frac\pi6(27-5\sqrt5).\end{aligned}$$
Arean av kroppens båda cirkulära ändytor
$$=\pi\cdot1^2+\pi\cdot(\sqrt2)^2=3\pi.$$
Arean av kroppens hela begränsningsyta är alltså
$$=\frac\pi6(27-5\sqrt5)+3\pi=\frac{5\pi}6(9-\sqrt5).$$