Uppgift 2

Låt $D$ beteckna det givna området $x^2+y^2\le2$. Området $D$ är kompakt (både slutet och begränsat) och eftersom den givna funktionen $f$ är kontinuerlig överallt har $f$ ett största och ett minsta värde i $D$, och vi bestämmer nu dessa värden. Vi noterar att $f$ har partiella förstaderivator i hela $D^\circ$ (det inre av $D$).

i) Stationära punkter till $f$ i $D^\circ$.

Derivering ger
$$f_1'(x,y)=4x-2(x^2+y^2)\cdot2x=4x(1-(x^2+y^2))$$
och
$$f_2'(x,y)=4-2(x^2+y^2)\cdot2y=4(1-y(x^2+y^2)).$$
Dvs $f_1'(x,y)=0$, $f_2'(x,y)=0\iff$
$$\begin{cases}x(1-(x^2+y^2))=0\\1-y(x^2+y^2)=0.\end{cases}\tag{1}$$
Den första ekvationen i (1) är uppfylld dels om $x=0$ och dels om $x^2+y^2=1$. Möjligheten $x=0$ insatt i den andra ekvationen i (1) ger $y^3=1$ och alltså $y=1$. Möjligheten $x^2+y^2=1$ insatt i den andra ekvationen i (1) ger $y=1$, som med $x^2+y^2=1$ ger $x=0$. Båda möjligheterna ger alltså $(x,y)=(0,1)$, som således är den enda lösningen till (1). Punkten $(0,1)\in D^\circ$. Funktionen $f$ har alltså en stationär punkt i $D^\circ$ och det är punkten $(0,1)$. Motsvarande funktionsvärde är $f(0,1)=3$.

ii) $f$:s beteende på randen till $D$.

Sambandet $x^2+y^2=2$ ger
$$x=\pm\sqrt{2-y^2},\ -\sqrt2\le y\le\sqrt2,\quad\text{eller}\quad y=\pm\sqrt{2-x^2},\ -\sqrt2\le x\le\sqrt2.$$
Eftersom $f(x,y)=2x^2+4y-(x^2+y^2)^2$ väljer vi att använda att
$$x=\pm\sqrt{2-y^2},\quad-\sqrt2\le y\le\sqrt2.$$
(Roten i sambandet $x=\pm\sqrt{2-y^2}$ kommer då att kvadreras bort när vi sätter in detta i $f(x,y)$.) Vi har att
$$f(\pm\sqrt{2-y^2},y)=2(2-y^2)+4y-(2-y^2+y^2)^2=4y-2y^2,\quad-\sqrt2\le y\le\sqrt2.$$
Vi studerar alltså
$$a(y)=4y-2y^2,\quad-\sqrt2\le y\le\sqrt2.$$
Derivatan är $a'(y)=4-4y$, och $a'(y)=0$ ger $y=1$ som ligger i $-\sqrt2\le y\le\sqrt2$. Vi får följande schema för $a(y)$ i $-\sqrt2\le y\le\sqrt2$
$$\begin{array}{c|ccccc}y&-\sqrt2&&1&&\sqrt2\\\hline a'(y)&&+&0&-&\\a(y)&-4\sqrt2-4&\nearrow&2&\searrow&4\sqrt2-4\end{array}$$
iii) $f$:s största och minsta värde i $D$

Av räkningarna ovan framgår att $f$:s största värde i $D$ är $\max(3,2)=3$, och att det minsta värdet är $\min(-4\sqrt2-4,4\sqrt2-4)=-4\sqrt2-4$.