Uppgift 3

Vi avbildar $D$ bijektivt på en axelparallell rektangel genom att göra substitutionen
$$\begin{cases}u=x+2y\\v=y-x\end{cases}\iff\begin{cases}x=\frac13u-\frac23v\\y=\frac13u+\frac13v.\end{cases}$$
Området $D$ övergår då i den axelparallella rektangeln $0\le u\le2$, $0\le v\le3$. Substitutionens funktionaldeterminant
$$\frac{d(x,y)}{d(u,v)}=\begin{vmatrix}\frac{\partial x}{\partial u}&\frac{\partial x}{\partial v}\\\frac{\partial y}{\partial u}&\frac{\partial y}{\partial v}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\frac13&-\frac23\\\frac13&\frac13\end{vmatrix}=\frac13.$$
Formeln för variabelsubstitution i dubbelintegral och fortsatt räkning ger sedan att
$$\begin{aligned}\iint_D(x+2y)^3\,dx\,dy&=\iint_{\substack{0\le u\le2\\0\le v\le3}}u^3\left|\frac13\right|\,du\,dv\\&=\frac13\iint_{\substack{0\le u\le2\\0\le v\le3}}u^3\,du\,dv=\frac13\int_0^2u^3\,du\int_0^3dv=\frac13\left[\frac14u^4\right]_0^2\cdot3=4.\end{aligned}$$