Uppgift 4

Motsvarande homogena ekvation är
$$y''+y=0$$
och vi börjar med att lösa denna differentialekvation.

i) Den allmänna reella lösningen till ekvationen $y''+y=0$.

Tillhörande karakteristisk ekvation $r^2+1=0$ har rötterna $\pm i$. Den allmänna reella lösningen är således
$$y_h=A\cos x+B\sin x,\quad\text{där }A\text{ och }B\text{ är godtyckliga reella konstanter.}$$
För att få lösningarna till den givna differentialekvationen behöver vi också en partikulärlösning till denna.

ii) En partikulärlösning till den givna differentialekvationen

Betrakta differentialekvationen
$$z''+z=e^{ix}.\tag{2}$$
Låt $z$ vara en lösning till denna ekvation. Eftersom $\operatorname{Im}(e^{ix})=\sin x$ är då $\operatorname{Im}(z)$ en partikulärlösning till den givna differentialekvationen
$$y''+y=\sin x.$$
Vi hittar en lösning till (2) genom att där sätta $z=we^{ix}$. Efter förenkling och förkortning med $e^{ix}$ (som är skilt från $0$ för alla reella tal $x$) fås ekvationen
$$w''+2iw'=1.$$
En lösning till denna ekvation är som lätt ses
$$w=\frac1{2i}x=-\frac12ix.$$
En lösning till (2) är således
$$z=we^{ix}=-\frac12ixe^{ix}=-\frac12ix(\cos x+i\sin x)=\frac12x\sin x-i\frac12x\cos x.$$
För denna lösning $z$ gäller
$$\operatorname{Im}(z)=-\frac12x\cos x,$$
och således är
$$y_p=-\frac12x\cos x$$
en partikulärlösning till den givna differentialekvationen.

iii) Den allmänna reella lösningen till den givna differentialekvationen.

Den allmänna reella lösningen är $y=y_h+y_p$. Enligt ovan är således respektive
$$y=A\cos x+B\sin x-\frac12x\cos x,\tag{3}$$
där $A$ och $B$ är godtyckliga reella konstanter, den allmänna reella lösningen till
$$y''+y=\sin x.$$
iv) Villkoret $y(0)=y(\pi)=0$.

Vi visar nu slutligen att det inte finns reella tal $A$ och $B$ så att lösningen $y(x)$ i (3) uppfyller att $y(0)=y(\pi)=0$. Villkoren $y(0)=y(\pi)=0$ ger tillsammans med (3) att
$$A\cos0+B\sin0-0=0\quad\text{och}\quad A\cos\pi+B\sin\pi-\frac12\pi\cos\pi=0\iff A=0\quad\text{och}\quad A=\frac\pi2,$$
vilket är omöjligt. Det finns således inte någon lösning $y(x)$ sådan att $y(0)=y(\pi)=0$.