Hela analys · 2008-06-10
Låt $a$ vara ett reellt tal skilt från 0. Ange ekvationen för normalen till parabeln $y=x^2$ i den punkt på parabeln där $x=a$. Bestäm också för varje reell tal $c$ antalet olika normaler till parabeln $y=x^2$ som går genom punkten $(0,c)$.
Av $y=x^2$ får vi $y'=2x$. Normalen till parabeln $y=x^2$ i den punkt på parabeln där $x=a$, för godtyckligt reellt tal $a\ne0$, är alltså räta linjen
$$y-a^2=-\frac1{2a}(x-a)\iff$$
$$y=-\frac1{2a}x+a^2+\frac12.\tag{4}$$
Normalen till parabeln $y=x^2$ i den punkt på parabeln där $x=0$, dvs i punkten $(0,0)$ på parabeln, är räta linjen
$$x=0.\tag{5}$$
Vi bestämmer nu för varje reellt tal $c$ antalet olika normaler till parabeln $y=x^2$ som går genom punkten $(0,c)$. Normalen (5) går genom punkten $(0,c)$ för varje reellt tal $c$. Normalen (4) går genom punkten $(0,c)$ precis om
$$c=a^2+\frac12.\tag{6}$$
Ekvationen (6), betraktad som en ekvation i $a$, har lösning $a\ne0$ precis om $c>\frac12$, och (6) har två olika lösningar $a\ne0$ om $c>\frac12$ (nämligen $a=\pm\sqrt{c-\frac12}$). Antalet olika normaler till parabeln $y=x^2$ som går genom punkten $(0,c)$ är således en om $c\le\frac12$ och tre om $c>\frac12$.