Uppgift 1

Låt $D$ beteckna det givna området $x\ge0$, $y\ge0$, $x+y\le6$. Området $D$ är kompakt (både slutet och begränsat) och eftersom den givna funktionen $f$ är kontinuerlig överallt har $f$ ett största och ett minsta värde i $D$, och vi bestämmer nu dessa värden. Vi noterar att $f$ har partiella förstaderivator i hela $D^\circ$ (det inre av $D$).

i) Stationära punkter till $f$ i $D^\circ$.

Derivering ger
$$f_1'(x,y)=4(x+y)-6xy\quad\text{och}\quad f_2'(x,y)=4(x+y)-3x^2.$$
Dvs $f_1'(x,y)=0$, $f_2'(x,y)=0\iff$
$$\begin{cases}4(x+y)-6xy=0\\4(x+y)-3x^2=0.\end{cases}$$
Tillsammans ger dessa båda ekvationer $6xy=3x^2$ och eftersom $x>0$ i $D^\circ$ fås $x=2y$. Insättning av $x=2y$ i första ekvationen ovan ger $12y-12y^2=0$ och eftersom $y>0$ i $D^\circ$ fås $y=1$. Av $y=1$ och $x=2y$ fås $x=2$. Punkten $(2,1)\in D^\circ$, som lätt ses. Funktionen $f$ har alltså en stationär punkt i $D^\circ$ och det är punkten $(2,1)$. Motsvarande funktionsvärde är $f(2,1)=6$.

ii) $f$:s beteende på randen till $D$.

a) Randdelen $0\le x\le6$, $y=0$.

Det gäller att
$$f(x,0)=2x^2,\quad0\le x\le6,$$
en funktion som i $0\le x\le6$ växer strängt från $0$ till $72$.

b) Randdelen $x=0$, $0\le y\le6$.

Det gäller att
$$f(0,y)=2y^2,\quad0\le y\le6,$$
en funktion som i $0\le y\le6$ växer strängt från $0$ till $72$.

c) Randdelen $x+y=6$, $0\le x\le6\iff y=6-x$, $0\le x\le6$.

Det gäller att
$$f(x,6-x)=72-3(6x^2-x^3),\quad0\le x\le6.$$
Vi behöver således studera funktionen
$$c(x)=72-3(6x^2-x^3)$$
i intervallet $0\le x\le6$. Derivatan är $c'(x)=-3(12x-3x^2)$, och $c'(x)=0$ har lösningarna $x=0$ och $x=4$. Vi får följande schema för $c(x)$ i $0\le x\le6$.
$$\begin{array}{c|ccccc}x&0&&4&&6\\\hline c'(x)&&-&0&+&\\c(x)&72&\searrow&-24&\nearrow&72\end{array}$$
iii) $f$:s största och minsta värde i $D$

Av räkningarna ovan framgår att $f$:s största värde i $D$ är $\max(6,72)=72$, och att det minsta värdet är $\min(6,0,-24)=-24$.