Uppgift 2

Differentialekvationen kan lösas med metoden med integrerande faktor. Vi har att
$$y'\cos x+2y\sin x=\cos^4x,\quad-\frac\pi2<x<\frac\pi2\iff$$
$$y'+2\frac{\sin x}{\cos x}y=\cos^3x,\quad-\frac\pi2<x<\frac\pi2.\tag{1}$$
Vidare har vi för $-\frac\pi2<x<\frac\pi2$ att
$$\int2\frac{\sin x}{\cos x}\,dx=-2\ln|\cos x|\ (+\text{konstant})=-2\ln(\cos x).$$
En integrerande faktor till (1) är således
$$e^{-2\ln(\cos x)}=\frac1{\cos^2x},$$
och multiplikation av (1) med den ger
$$\frac1{\cos^2x}y'+2\frac{\sin x}{\cos^3x}y=\cos x,\quad-\frac\pi2<x<\frac\pi2,$$
vilket kan skrivas
$$\frac d{dx}\left(\frac1{\cos^2x}y\right)=\cos x,\quad-\frac\pi2<x<\frac\pi2,$$
och efter integration fås
$$\frac1{\cos^2x}y=\sin x+C,\quad-\frac\pi2<x<\frac\pi2,$$
varav följer
$$y=(\cos^2x)(C+\sin x),\quad-\frac\pi2<x<\frac\pi2,\tag{2}$$
där $C$ är en konstant. Villkoret $y(0)=1$ insatt i (2) ger $C=1$. Sökt lösning är alltså
$$y=(\cos^2x)(1+\sin x),\quad-\frac\pi2<x<\frac\pi2.$$