Uppgift 3

Derivering av $f(x)=(1+x)^x=e^{x\ln(1+x)}$ ger
$$f'(x)=e^{x\ln(1+x)}\left(\ln(1+x)+\frac x{1+x}\right),$$
varav fås att $f'(x)<0$ i $-1<x<0$ (eftersom $\ln(1+x)<0$ och $\frac x{1+x}<0$ i $-1<x<0$), och att $f'(x)>0$ i $x>0$ (eftersom $\ln(1+x)>0$ och $\frac x{1+x}>0$ i $x>0$). Funktionen $f(x)$ är alltså strängt avtagande i $-1<x<0$ och strängt växande i $x>0$. Det följer att $f(x)$ har ett strängt lokalt minimum i $x=0$. Det följer också att $f(0)=1$ är globalt minimum till $f(x)$ i intervallet $x>-1$ (det intervall där $f(x)$ är definierad).