Uppgift 4

Vi övergår till polära koordinater $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$. Det givna området $D$ uttryckt i polära koordinater är då området $0\le r\le\sqrt6$, $\frac\pi4\le\theta\le\frac\pi2$ (rita figur över $D$) och vi får att
$$\begin{aligned}\iint_D\frac y{2+x^2+y^2}\,dx\,dy&=\iint_{\substack{0\le r\le\sqrt6\\\pi/4\le\theta\le\pi/2}}\frac{r\sin\theta}{2+r^2}r\,dr\,d\theta\\&=\iint_{\substack{0\le r\le\sqrt6\\\pi/4\le\theta\le\pi/2}}\frac{r^2}{2+r^2}\sin\theta\,dr\,d\theta=\int_0^{\sqrt6}\frac{r^2}{2+r^2}\,dr\int_{\pi/4}^{\pi/2}\sin\theta\,d\theta\\&=\int_0^{\sqrt6}\left(1-\frac1{1+r^2/2}\right)dr\int_{\pi/4}^{\pi/2}\sin\theta\,d\theta\\&=\left[r-\sqrt2\arctan\frac r{\sqrt2}\right]_{r=0}^{r=\sqrt6}[-\cos\theta]_{\theta=\pi/4}^{\theta=\pi/2}\\&=(\sqrt6-\sqrt2\arctan\sqrt3)\left(0+\frac1{\sqrt2}\right)=\left(\sqrt6-\sqrt2\frac\pi3\right)\left(0+\frac1{\sqrt2}\right)=\sqrt3-\frac\pi3.\end{aligned}$$