Uppgift 6

Låt $L$ vara en linje av sökt typ och låt $L$ vara tangent till $y=x^2$ i $x=a$ och tangent till $y=\frac1x$ i $x=b$. Vi har att $y=x^2\implies y'=2x$, och att $y=\frac1x\implies y'=-\frac1{x^2}$. Eftersom $L$ är tangent till $y=x^2$ i $x=a$ kan $L$:s ekvation skrivas
$$y-a^2=2a(x-a)\iff$$
$$y=2ax-a^2.\tag{3}$$
Eftersom $L$ även är tangent till $y=\frac1x$ i $x=b$ kan $L$:s ekvation även skrivas
$$y-\frac1b=-\frac1{b^2}(x-b)\iff$$
$$y=-\frac1{b^2}x+\frac2b.\tag{4}$$
Eftersom (3) och (4) båda är samma linje $L$ måste gälla att
$$\begin{cases}2a=-\frac1{b^2}\\-a^2=\frac2b.\end{cases}\tag{5}$$
Av första ekvationen i (5) får vi $a=-\frac1{2b^2}$, vilket insatt i andra ekvationen i (5) ger att
$$-\frac1{4b^4}=\frac2b\iff-b=8b^4\text{ och }b\ne0\iff b(8b^3+1)=0\text{ och }b\ne0\iff b=-\frac12.$$
Insättning av $b=-\frac12$ i första ekvationen i (5) ger $a=-2$. Insättning av $a=-2$ i (3) eller av $b=-\frac12$ i (4) ger linjen
$$y=-4x-4.\tag{6}$$
Det finns således en enda linje med sökt egenskap och det är linjen (6). (Denna linje är tangent till kurvan $y=x^2$ i punkten $(-2,4)$ och tangent till kurvan $y=\frac1x$ i punkten $(-\frac12,-2)$.)