Uppgift 1

a)
$$\begin{aligned}\lim_{n\to\infty}n(\ln(n+1)-\ln n)&=\lim_{n\to\infty}n\ln\left(\frac{n+1}n\right)=\lim_{n\to\infty}\frac{\ln(1+1/n)}{1/n}\\&=[t=1/n]=\lim_{t\to0}\frac{\ln(1+t)}t=1\end{aligned}$$
enligt standardgränsvärde. Den näst sista likheten ska tolkas så att eftersom $t$-gränsvärdet existerar så existerar även $n$-gränsvärdet (enligt sammansättningsregeln), och de är lika.

b) Maclaurin-utveckling ger
$$\begin{aligned}\lim_{x\to0}\frac{\sin x\ln(1+x^5)}{(x-\arctan x)^2}&=\lim_{x\to0}\frac{(x+O(x^3))(x^5+O(x^{10}))}{(x-(x-\frac13x^3+O(x^5)))^2}\\&=\lim_{x\to0}\frac{x^6+O(x^8)}{(\frac13x^3+O(x^5))^2}=\lim_{x\to0}\frac{x^6+O(x^8)}{\frac19x^6+O(x^8)}\\&=\lim_{x\to0}\frac{1+O(x^2)}{\frac19+O(x^2)}=\frac1{1/9}=9.\end{aligned}$$