Uppgift 2

Funktionen är kontinuerlig och (godtyckligt många gånger) deriverbar i alla punkter utom origo. $\lim_{x\to0}f(x)=+\infty$ vilket ger att $y$-axeln är en lodrät asymptot. Eftersom $\lim_{x\to\pm\infty}f(x)/x=\pm\infty$ kan det inte finnas någon sned eller vågrät asymptot.

Derivation ger
$$f'(x)=2x-1-\frac1x=\frac{2x^2-x-1}x=\frac{2(x+\frac12)(x-1)}x$$
vilket ger nollställena $x=-\frac12$ och $x=1$.

Vi får följande teckentabell:
$$\begin{array}{c|ccccccc}x&&-\frac12&&0&&1&\\\hline f'&-&0&+&\text{odef}&-&0&+\\f&\searrow&\frac34+\ln2&\nearrow&\infty&\searrow&0&\nearrow\end{array}$$
Det framgår att både $x=-\frac12$ och $x=1$ är lokala min-punkter (med min-värden $\frac34+\ln2$ respektive $0$, och dessutom framgår att $1$ också är en global minpunkt. Globalt max saknas eftersom $\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\infty$.

Genom att derivera en gång till får vi att
$$f''(x)=D\left(2x-1-\frac1x\right)=2+\frac1{x^2}>0,$$
vilket visar att $f$ är konvex, både på intervallet $(-\infty,0)$ och $(0,\infty)$. Observera dock att $f(x)$ inte är konvex på hela $\mathbb R$ och att funktionen saknar inflexionspunkter.