Uppgift 5

I polära koordinater ges området av villkoren $-\frac\pi2\le\theta\le\frac\pi2$ och $0\le r\le2$. Vi får därför:
$$\begin{aligned}\iint_Dxy^2\,dx\,dy&=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\int_0^2(r\cos\theta)(r\sin\theta)^2r\,dr\,d\theta\\&=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\sin^2\theta\cos\theta\,d\theta\int_0^2r^4\,dr=\left[\frac13\sin^3\theta\right]_{-\pi/2}^{\pi/2}\left[\frac15r^5\right]_0^2\\&=\frac13(1-(-1))\cdot\frac15(32-0)=\frac{64}{15}.\end{aligned}$$