Uppgift 2

Funktionen är kontinuerlig i alla punkter så lodräta asymptoter saknas. $\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=0$ vilket ger att $x$-axeln är en tvåsidig asymptot.

P g a beloppstecknet måste vi dela upp i två fall:

$x>0\implies f(x)=(x+1)e^{-x}$ och derivation ger
$$f'(x)=e^{-x}-(x+1)e^{-x}=-xe^{-x}.$$
Denna funktion saknar nollställen för $x>0$ men vi noterar att $\lim_{x\to0^+}f'(x)=0$.

$x<0\implies f(x)=(x+1)e^x$ och derivation ger
$$f'(x)=e^x+(x+1)e^x=(x+2)e^x.$$
Denna funktion har nollstället $x=-2$ som uppfyller villkoret $x<0$. Vi noterar också att $\lim_{x\to0^-}f'(x)=2$, vilket tillsammans med motsvarande högergränsvärde ger att $f$ inte är deriverbar i $0$.

Vi får följande teckentabell:
$$\begin{array}{c|ccccccc}x&-\infty&&-2&&0&&\infty\\\hline f'&&-&0&+&\text{odef}&-&\\f&0&\searrow&-e^{-2}&\nearrow&1&\searrow&0\end{array}$$
Det framgår att $x=-2$ är en lokal, i själva verket global, minpunkt (med minvärde $-e^{-2}$). På samma sätt framgår att $x=0$ är en lokal, i själva verket global, maxpunkt (med maxvärde $1$).

Genom att derivera en gång till får vi att
$$x>0\implies f''(x)=D(-xe^{-x})=(x-1)e^{-x},$$
$$x<0\implies f''(x)=D((x+2)e^x)=(x+3)e^x.$$
Vi får nollställena $x=1$ och $x=-3$ och följande teckentabell:
$$\begin{array}{c|ccccccc}x&&-3&&0&&1&\\\hline f''&-&0&+&\text{odef}&-&0&+\\f&\frown&-2e^{-3}&\smile&1&\frown&2e^{-1}&\smile\end{array}$$
De egentliga inflexionspunkterna ligger vid $x=-3$ och $x=1$. Vid $x=0$ byter kurvan också konvexitetsriktning, men $f$ är inte deriverbar där. Funktionen är konvex på intervallen $[-3,0]$ och $[1,\infty)$ och konkav på intervallen $(-\infty,-3]$ och $[0,1]$.