Uppgift 3
Betrakta kurvan
$$y=x^3-x+2.$$
Undersök om någon tangent till denna går genom origo. Bestäm i förekommande fall tangentens ekvation.
Hela analys · 2009-01-16
Uppgift 3
Visa lösningDölj lösning
Tangenten till kurvan i punkten $(a,f(a))$, där $f(x)=x^3-x+2$, ges av
$$y=f(a)+f'(a)(x-a)=(a^3-a+2)+(3a^2-1)(x-a).$$
För att tangenten ska gå genom origo måste högerledet bli $0$ då $x=0$. Detta ger ekvationen
$$0=(a^3-a+2)+(3a^2-1)(-a)=-2a^3+2\iff a=1.$$
Insatt i tangentens ekvation får vi $y=2x$.