Uppgift 4

Eftersom funktionen är partiellt deriverbar överallt i halvcirkelskivan räcker det att undersöka kritiska punkter i det inre och längs randstyckena $y=0$, $-2<x<2$ och $x^2+y^2=4$, $0<y$ samt hörnen $(-2,0)$, och $(2,0)$ för att hitta max och min.

Eventuella kritiska punkter i det inre uppfyller ekvationerna
$$\begin{cases}0=f_x'=e^{-x^2-y^2}-2x(x+y)e^{-x^2-y^2},\\0=f_y'=e^{-x^2-y^2}-2y(x+y)e^{-x^2-y^2}.\end{cases}$$
Genom att dividera båda ekvationerna med $2e^{-x^2-y^2}$ och subtrahera ekvationerna från varandra får vi att $(x+y)(x-y)=0$, dvs $x+y=0$ eller $x=y$. Det första fallet ger uppenbarligen inga lösningar medan det andra fallet insatt i den första av ekvationerna ger $1-4x^2=0$ som har lösningarna $x=\pm\frac12$. Detta ger punkterna $(\frac12,\frac12)$, och $(-\frac12,-\frac12)$ varav endast den första ligger i området.

På randstycket $y=0$, $-2<x<2$ sätter vi $h_1(t)=f(t,0)=te^{-t^2}$ vilket ger $h_1'(t)=(1-2t^2)e^{-t^2}$ med nollställena $t=\pm1/\sqrt2$. Vi får därför två möjliga extrempunkter: $(1/\sqrt2,0)$ och $(-1/\sqrt2,0)$.

På randstycket $x^2+y^2=4$, $0<y$ sätter vi $h_2(t)=f(2\cos t,2\sin t)=2(\cos t+\sin t)e^{-4}=2\sqrt2\sin(t+\pi/4)e^{-4}$ ($0<t<\pi$). Denna funktion har en enda kritisk punkt då $t=\pi/4$ vilket svarar mot en möjlig extrempunkt i $(\sqrt2,\sqrt2)$.

Sammanfattningsvis har vi alltså sex punkter att jämföra: $(\frac12,\frac12)$, $(1/\sqrt2,0)$, $(-1/\sqrt2,0)$, $(\sqrt2,\sqrt2)$, $(-2,0)$ och $(2,0)$ med motsvarande funktionsvärden $e^{-1/2}$, $\frac1{\sqrt2}e^{-1/2}$, $-\frac1{\sqrt2}e^{-1/2}$, $2\sqrt2e^{-4}$, $-2e^{-4}$ och $2e^{-4}$.

Man ser lätt att det största av dessa är $e^{-1/2}$ och det minsta är $-\frac1{\sqrt2}e^{-1/2}$.