Uppgift 6

$(\cos x)y'+(\sin x)y=1\iff y'+(\tan x)y=\frac1{\cos x}$. En primitiv funktion till $\tan x$ är $-\ln|\cos x|$ och vi väljer därför som integrerande faktor $I=e^{-\ln(\cos x)}=1/\cos x$. Ekvationen kan därför skrivas om som
$$\frac1{\cos x}y'+\frac{\sin x}{\cos^2x}y=\frac1{\cos^2x}\iff D\left(\frac y{\cos x}\right)=\frac1{\cos^2x},$$
vilket efter integration blir
$$\frac y{\cos x}=\tan x+C\iff y=\sin x+C\cos x.$$
Insättning av bivillkoret $y(0)=2$ ger att $2=C$ och därmed blir lösningen $y=\sin x+2\cos x$.

b) Motsvarande homogena ekvation $y''-4y'+3y=0$ har den karakteristiska ekvationen $r^2-4r+3=0$ med lösningarna $r_1=1$ och $r_2=3$. Den homogena lösningen blir alltså $y_h=C_1e^x+C_2e^{3x}$. En partikulärlösning kan bestämmas antingen genom variabelbyte eller ansats. Vi väljer ansats och observerar att eftersom högerledet är en lösning till den homogena ekvationen måste denna bli $y_p=Axe^x$.

Derivering ger $y_p'=(Ax+A)e^x$ och $y_p''=(Ax+2A)e^x$, vilket insatt i ekvationen ger
$$(Ax+2A)e^x-4(Ax+A)e^x+3Axe^x=e^x\iff$$
$$-2Ae^x=e^x\iff A=-\frac12.$$
Vi får alltså att $y_p=-\frac12xe^x$ och därmed den allmänna lösningen
$$y=y_h+y_p=C_1e^x+C_2e^{3x}-\frac12xe^x.$$