Uppgift 1

Genom att använda standardutvecklingar får vi:
$$\sin x=x-\tfrac16x^3+\tfrac1{120}x^5+B_1(x)x^7,\quad\arctan x=x-\tfrac13x^3+\tfrac15x^5+B_2(x)x^7,\quad\ln(1+t)=t+B_3(t)t^2.$$
Insättning av $t=x^2$ i den sista utvecklingen ger $\ln(1+x^2)=x^2+B_4(x)x^4$. Så vi får
$$2\sin x-\arctan x-x=2(x-\tfrac16x^3+\tfrac1{120}x^5+B_1(x)x^7)-(x-\tfrac13x^3+\tfrac15x^5+B_2(x)x^7)-x=-\tfrac{11}{60}x^5+B_5(x)x^7,$$
$x^3\ln(1+x^2)=x^3(x^2+B_4(x)x^4)=x^5+B_4(x)x^7$ och
$$\frac{2\sin x-\arctan x-x}{x^3\ln(1+x^2)}=\frac{-\frac{11}{60}x^5+B_5(x)x^7}{x^5+B_4(x)x^7}=\frac{-\frac{11}{60}+B_5(x)x^2}{1+B_4(x)x^2}\to-\frac{11}{60}\quad\text{då }x\to0.$$