Hela analys · 2009-05-25
Lös differentialekvationen $y''+4y'+4y=x+1$.
Bestäm den lösning till differentialekvationen $e^yy'=e^{2y}+1$ som satisfierar begynnelsevillkoret $y(\frac{\pi}{4})=0$. Bestäm också det största $x$-intervallet kring punkten $x=\frac{\pi}{4}$ för vilket lösningen existerar.
a) Den karakteristiska ekvationen $r^2+4r+4=0$ har en dubbelrot $r_{1,2}=-2$. Så $y_h=(C_1x+C_2)e^{-2x}$.
Vi söker en partikulärlösning på formen $y_p=Ax+B$. En enkel räkning visar att $y_p''+4y_p'+4y_p=4Ax+(4A+4B)=x+1$. Så $4A=1$ och $4A+4B=1$, vilket ger $A=\frac14$, $B=0$. Det följer att $y_p=\frac14x$ och den allmänna lösningen är $y=(C_1x+C_2)e^{-2x}+\frac14x$.
b) Efter separation av variabler kan ekvationen skrivas på formen $\frac{e^y}{e^{2y}+1}\,dy=dx$. Eftersom
$$\int\frac{e^y}{e^{2y}+1}\,dy=[e^y=t,\ e^y\,dy=dt]=\int\frac{dt}{t^2+1}=\arctan t+C_1=\arctan e^y+C_1$$
och $\int dx=x+C_2$, satisfierar den allmänna lösningen sambandet $\arctan e^y=x+C$. Insättning av $y(\frac\pi4)=0$ ger $\arctan1=\frac\pi4+C$, dvs. $C=0$. Så $\arctan e^y=x$, vilket ger $e^y=\tan x$ och $y=\ln\tan x$. Eftersom $\ln\tan x$ är definierad enbart då $\tan x>0$, är $(0,\frac\pi2)$ det största intervallet kring $x=\frac\pi4$ i vilket lösningen existerar.