Uppgift 4

$f'(x)=\frac{\sqrt{x^2+1}-\frac{x(x-1)}{\sqrt{x^2+1}}}{x^2+1}=\frac{x+1}{(x^2+1)^{3/2}}$. Teckentabell för $f'$:
$$\begin{array}{c|ccc}x&&-1&\\\hline f'&-&0&+\\f&\searrow&&\nearrow\end{array}$$
Det framgår av tabellen att $f$ har ett lokalt (och faktiskt också globalt) minimum då $x=-1$.

Asymptoter: Eftersom $f$ är definierad och kontinuerlig för alla $x$, finns inga lodräta asymptoter.
$$\lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}x=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{1-\frac1x}{\sqrt{x^2+1}}=0.$$
$$\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x-1}{\sqrt{x^2+1}}=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x(1-\frac1x)}{|x|\sqrt{1+\frac1{x^2}}}\quad\text{(observera }|x|\text{!).}$$
Eftersom $\frac x{|x|}=1$ för $x>0$ och $-1$ för $x<0$, är det klart att gränsvärdet är $1$ då $x\to\infty$ och $-1$ då $x\to-\infty$. Alltså är $y=1$ en sned (egentligen horisontell) asymptot då $x\to\infty$ och $y=-1$ en motsvarande asymptot då $x\to-\infty$.

Grafen: