Uppgift 5

$f_x'(x,y)=1-y^2$, $f_y'(x,y)=1-2xy$. $f_x'=0$ ger $y=\pm1$. Detta insatt i $f_y'=0$ ger $x=\pm\frac12$. Vi får $2$ stationära punkter: $(\frac12,1)$ och $(-\frac12,-1)$. Ingen av dem ligger dock i triangeln.

Randundersökning: I hörnpunkterna får vi $\boxed{f(0,0)=0}$, $\boxed{f(2,0)=2}$ och $\boxed{f(2,2)=-4}$.

På linjestycket $y=0$, $0<x<2$, har vi $h_1(t)=f(t,0)=t$. $h_1$ har inga stationära punkter.

På linjestycket $x=2$, $0<y<2$, har vi på motsvarande sätt $h_2(t)=f(2,t)=2+t-2t^2$ med $h_2'(t)=1-4t=0$ då $t=\frac14$. Motsvarande punkt i planet är $(2,\frac14)$ med $\boxed{f(2,\frac14)=2\frac18}$.

På linjestycket $y=x$, $0<x<2$, är $h_3(t)=2t-t^3$ och $h_3'(t)=2-3t^2=0$ då $t=\sqrt{\frac23}$, vilket svarar mot punkten $(\sqrt{\frac23},\sqrt{\frac23})$ med $\boxed{f(\sqrt{\frac23},\sqrt{\frac23})=\frac43\sqrt{\frac23}}$. ($t=-\sqrt{\frac23}$ svarar mot en punkt utanför mängden.)

Genom att jämföra de markerade värdena ser vi att funktionens största och minsta värde i triangeln är $2\frac18$ resp. $-4$.